如(rú)果(guǒ)你(nǐ)家(jiā)墙(qiáng)上(shàng)或(huò)者(zhě)地(de)面(miàn)上(shàng)铺(pù)了(le)瓷(cí)砖(zhuān)，你(nǐ)可(kě)以(yǐ)仔(zǐ)细(xì)观(guān)察(chá)一(yī)下(xià)。别(bié)小(xiǎo)瞧(qiáo)了(le)这(zhè)样(yàng)一(yī)个(gè)不(bù)起(qǐ)眼(yǎn)的(de)现(xiàn)象(xiàng)，它(tā)背(bèi)后(hòu)是(shì)数(shù)学(xué)领(lǐng)域中(zhōng)一(yī)个(gè)重(zhòng)要(yào)的(de)概(gài)念(niàn)，被(bèi)称(chēng)为(wèi)“铺(pù)砌(qì)”。一(yī)直(zhí)以(yǐ)来(lái)，很(hěn)多(duō)数(shù)学(xué)家(jiā)一(yī)直(zhí)在(zài)研(yán)究(jiū)，什(shén)么(me)样(yàng)的(de)几(jǐ)何(hé)形(xíng)状(zhuàng)可(kě)以(yǐ)通(tōng)过(guò)组(zǔ)合(hé)无(wú)缝(fèng)隙(xì)地(de)填(tián)满(mǎn)无(wú)限(xiàn)的(de)平(píng)面(miàn)。
铺(pù)砌(qì)可(kě)以(yǐ)分(fēn)为(wèi)周(zhōu)期(qī)性(xìng)和(hé)非(fēi)周(zhōu)期(qī)性(xìng)铺(pù)砌(qì)。比(bǐ)如(rú)我(wǒ)们(men)熟(shú)悉(xī)的(de)三(sān)角(jiǎo)形(xíng)、正(zhèng)方(fāng)形或者六边形，它们不断重复排列，就能周期性地铺砌二维空间。如果不限于二维平面，在三维空间中，立方体也可以实现周期性铺砌。
图1：三(sān)角(jiǎo)形(xíng)、正(zhèng)方(fāng)形(xíng)、六(liù)边(biān)形(xíng)可(kě)以(yǐ)周(zhōu)期(qī)性(xìng)地(de)铺(pù)砌(qì)平(píng)面(miàn)。
周(zhōu)期(qī)性(xìng)铺(pù)砌(qì)的(de)一(yī)大(dà)特(tè)点(diǎn)是(shì)，它(tā)的(de)整(zhěng)体(tǐ)图(tú)案(àn)可(kě)以(yǐ)通(tōng)过(guò)平移或者旋转重现出来。我们可以想象一张无限大的黑白格的国际象棋棋盘，如果把它向右再向下平移两格，移动过后的图案和原先完全一样。
图2：一个无限延伸的国际象棋棋盘，可以通过平移来获得完全一样的图案。
相比之下，非周期性铺砌就要复杂得多。因为它需要非重复性的排列，无论你怎么平(píng)移(yí)或者旋
转都无法重现原本的图案。数学家最初发现的非周期性铺砌由超过两万种形状组成。而最著名的一个例子叫作彭罗斯铺砌，罗杰·彭罗斯成功用两种不同的菱形实现了非周期性铺砌。
图3：由两种菱形组成的彭罗斯铺砌。
解决铺砌问题的典型思路是找到一些带拐角的形状进行拼接(jiē)，就像二维平面中的三角形、正方形、六边(biān)形(xíng)等等，这很符合直觉。如果让一些传统铺砌系统中形状的边弯曲，让拐角变“圆”时，这些被“软化”过的形(xíng)状(zhuàng)就没法不留缝隙地进行铺砌了。
然而，带拐角的形状在自然界中并不常见。最近，在一项发表在PNASNexus上的新研究中，数学家发现了一类新的形状，可以在没有任何拐角的情况下铺砌空间。这些新的几何形状带有圆角，他们将这些形状称为“软细胞”。
图4：新研究将一类新的可以无缝隙铺砌空间的形状命名为软细胞。第一行显示了等效于常规三角形的软铺砌，第二行显示了等效于长方形的软铺砌，第三行显示了等效于六边形的软铺砌。（图/Domokos et. al. / PNAS Nexus）
软细胞的特点是，这些形状在拐角数量最少的情况下能无缝隙铺砌空间。在二维空间里，所有软细胞都必须至少有两个“尖角”。而在三维空间中，软细胞变得更复杂但也更有趣了。它们竟然可以完全不带尖角，也能无缝隙地铺砌整个空间。
其实放眼自然界，这种形状的铺砌模式完全不是新鲜事儿。小到肌细胞和洋葱鳞茎的层，再到斑马条纹，甚至河流岛屿的形状，都有这样的铺砌模式。而一个最经典的软细胞铺砌的例子就是鹦鹉螺的壳室。从横截面来看，鹦鹉螺的壳室看起来像是有着两个尖角的二维软细胞，但实际上，在三维空间中，它的壳室没有任何拐角。
图5：鹦鹉螺腔室的几何形状。（图/Domokos et. al./ PNAS Nexus）
图(tú)6：软细胞拥有最小数量的尖角，并且能没有缝隙地铺砌空间。在自然界和建筑中都存在有着两个尖角的软细胞的例子。第1列显示的是几何软细胞示例，第2、3列显示的(de)是(shì)自(zì)然(rán)界(jiè)的(de)软(ruǎn)细(xì)胞(bāo)示(shì)例(lì)，第(dì)4列(liè)显(xiǎn)示(shì)的(de)是(shì)建(jiàn)筑(zhù)师(shī)扎(zhā)哈(hā)·哈(hā)迪(dí)德(dé)的(de)建(jiàn)筑(zhù)设(shè)计(jì)。（图(tú)/Wikimedia Commons, Google Earth, Krisztina Regős.）
其(qí)实(shí)，当(dāng)一(yī)些(xiē)建(jiàn)筑(zhù)师(shī)想(xiǎng)要(yào)避(bì)免拐角时，他们也会凭直觉创造出(chū)这(zhè)些(xiē)形(xíng)状(zhuàng)，比(bǐ)如(rú)著(zhe)名建(jiàn)筑(zhù)师(shī)扎(zhā)哈(hā)·哈(hā)迪(dí)德(dé)被(bèi)称(chēng)为(wèi)“曲(qū)线(xiàn)女(nǚ)王(wáng)”，她(tā)的(de)设(shè)计(jì)就(jiù)以(yǐ)大(dà)胆(dǎn)的(de)曲(qū)线(xiàn)而(ér)闻(wén)名。这(zhè)些(xiē)建(jiàn)筑(zhù)师(shī)在(zài)不(bù)知(zhī)不觉中已经创造出了“软细胞”。
这项发现同样带来了几何学和生物学的一系列问题。目前，科学家还不清楚大自然究竟是如何利用这些“软”的形状来实现几何复杂性的。他们推测，自然通常会避免拐角，可能是因为拐角的扭折在形变能上的成本很高，也有可能会带来某些结构性的劣势。这可能是某种“自然的智慧”。
本文为·创作培育计划扶持作品
作者名称：沈雯
审核：刘歆 中国科学院数学与系统科学研究院 研究员
出品：中国科协科普部
监制：中国科学技术出版社有限公司、北京中科星河文化传媒有限公司
